Paradojas de Zenón

Como una flecha disparada hacia un blanco tiene que cubrir primero la mitad de la distancia, y luego la mitad del resto, y luego la mitad de lo restante, y así ad infinitum. El resultado es que aunque la flecha no deja de aproximarse a su blanco, nunca lo alcanza del todo.

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento. Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible.

Pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Esto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.

El lanzamiento de una piedra contra un árbol

Esta paradoja es una variante de la anterior.

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que le separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que la cantidad de distancias recorridas (y tiempos invertidos en hacerlo) es infinita, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.

La paradoja de la piedra puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumatorias cuyo término variante (que sólo puede tomar valores pertenecientes al conjunto de números naturales) va hasta el infinito.

Como introducción al concepto de serie, se muestran un par de series sencillas y luego se aplica esa formulación a la paradoja de Zenón.

Para sumar todos los números desde 1 a infinito

Para sumar todos los números al cuadrado desde 1 a infinito

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:

Suma =

En el sumatorio de la paradoja de Zenón, «a» es y «r» es la razón de incremento (producto), que es . Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:

Suma =

Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.

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