Paradojas en la Aritmética

Supongamos que

a = b. (1)

Multiplicando ambos lados por una,

a ² = AB. (2)

Restando b ² de ambas partes,

a ² - b ² = ab - b ². (3)

Factorizing ambas partes,

(a + b) (a - b) b = (a - b). (4)

La división de ambas partes (a - b),

a + b = B. (5)

Si ahora tomamos a = b = 1, llegamos a la conclusión de que 2 = 1. O podemos restar b de ambas partes y la conclusión de que una, lo que puede ser tomado como cualquier número, debe ser igual a cero. O podemos reemplazar b por una y la conclusión de que cualquier número es el doble de sí mismo. Nuestro resultado puede ser interpretado de varias maneras, todas igualmente ridículo.


La paradoja surge de una violación encubierta de la aritmética prohibición de división por cero, que ocurre en (5): desde a = b, dividiendo ambos lados de (a - b) es dividir por cero, lo que hace que la ecuación de sentido. Como Northrop va a mostrar, el mismo truco se puede utilizar para probar, por ejemplo, que la desigualdad de dos números son iguales, o que todos los números enteros positivos son iguales.

Aquí hay otro ejemplo:

Demostrando que 3 + 2 = 0

Supongamos que A + B = C, y asumirá A = 3 y B = 2.

Multiplicar ambos lados de la ecuación A + B = C de (A + B).

Obtenemos a ² + 2AB + B ² = C (A + B)

Reorganizar los términos que hemos

A ² + AB - AC = - AB - B ² + BC

Factoring out (A + B - C), hemos

A (A + B - C) = - B (A + B - C)

La división de ambos lados de (A + B - C), es decir, dividir por cero, obtenemos A = - B, o A + B = 0, lo cual es evidentemente absurdo.



Demostrando que n = n + 1

(a) (n + 1) ² = n ² + 2n + 1

(b) (n + 1) ² - (2n + 1) = n ²

(c) Restando n (2n + 1) de ambas partes y el factoring, hemos

(d) (n + 1) ² - (n + 1) (2n + 1) = n ² - n (2n + 1)

(e) Adición de ¼ (2n + 1) ² a ambos lados de (d) los rendimientos

(n + 1) ² - (n + 1) (2n + 1) + ¼ (2n + 1) ² = n ² - n (2n + 1) + ¼ (2n + 1) ²

Esto puede ser escrito:

(f) [(n + 1) - ½ (2n + 1)] ² = [(n - ½ (2n + 1)] ²

Tomando raíces cuadradas de ambas partes,

(g) + 1 n - ½ (2n + 1) = n - ½ (2n + 1)

y, por tanto,

(h) n = n + 1

Kasner y Newman, P. 184

El truco aquí es pasar por alto el hecho de que hay dos raíces cuadradas para cualquier número positivo, uno positivo y uno negativo: las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2, que puede escribirse como ± 2. Por lo tanto, (g) deben leer correctamente:

± (n + 1 - ½ (2n + 1)) = ± (n - ½ (2n + 1))